Mathematik Spickzettel
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Körperaxiome
Die Menge der reellen Zahlen wird in der Mathematik als Körper bezeichnet.
Man bezeichnet eine Menge als Körper, wenn folgende Gesetze erfüllt sind:
- Kommutativgesetze
- Assioziativgesetze
- Distributivbesetze
für alle Elemente a, b, c der Menge der reellen Zahlen.
Darüber hinaus muss die Existenz neutraler und inverser Elemente für jede reelle Zahl a gegeben sein.
Für das inverse Element gilt, dass das für die Multiplikation inverse Element ungleich Null ist.
Auch andere Zahlenmengen (z.B. die Menge der rationalen Zahlen) sind Körper. So ergibt sich die Frage, was die reellen Zahlen zu etwas Besonderem macht?
Ordnungsaxiome
Die Ordnungsaxiome regeln - wer hätte das gedacht - die Ordnung der Zahlen untereinander. So selbstverständlich uns diese Axiome erscheinen, so ist es notwendig sie einmal zu definieren.
Selbstverständlich gilt, dass die in den Gesetzen erwähnten a, b und c reelle Zahlen sind.
Körper, die die Ordnungsaxiome erfüllen, werden übrigens auch angeordnete Körper genannt.
Die Ordnungsaxiome sind notwendig für die reelle Zahlen, aber sie sind nicht hinreichend. So sind zum Beispiel auch die rationalen Zahlen ein angeordneter Körper.
Das Schnittaxiom
Die reellen Zahlen vereinigen in sich die rationalen und die irrationalen Zahlen. Damit ist es möglich die Zahlengerade lückenlos zu füllen. Jeder Punkt der Zahlengeraden ist ein Element der reellen Zahlen.
Das ist das Besondere an den reellen Zahlen.
Würde man die Zahlengerade an einem beliebigen Punkt zerteilen, so würden zwei nicht leere Teilmengen A und B entstehen.
Beide zusammen würden die Menge der reellen Zahlen ergeben.
Wegen den gegebenen Ordnungsaxiomen gilt: alle a (Element von A) sind kleiner als alle b (Element von B).
Man spricht von einem Dedekind'schen Schnitt.
An der Trennungsstelle des Dedekind'schen Schnittes gibt es eine Trennungszahl t, so dass gilt:
Wegen der Ordnungsrelation gehört die Trennungszahl immer entweder zu A oder zu B.
Das Schnittaxiom (auch Axiom der Ordnungsvollständigkeit genannt) besagt, dass es bei jedem Dedekind'schen Schnitt immer nur eine Trennungszahl gibt.
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