Analysis - Mathematik
Die Kurvendiskussion dient der Herausarbeitung von Funktionseigenschaften. Sie erfordert ein methodisches Vorgehen. Manche Schritte können auch in einer anderen Reihenfolge durchgeführt werden.
Das Vorgehen hängt davon ab, ob es sich um ganzrationale oder gebrochenrationale Funktion handelt.
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Kurvendiskussion
1. Definitionsmenge
2. Symmetrieeigenschaft
3. Definitionslücken
4. Nullstellen
5. Extremwerte
6. Wendepunkte
7. Zeichnung des Graphen
1. Bestimmung der Definitionsmenge
° Bei ganzrationalen Funktionen (=Polynom) ist Definitionsmenge = Menge der reellen Zahlen.
♦ Bei gebrochenrationalen Funktionen ist Definitionsmenge = ohne Nullstellen im Nenner
2. Untersuchung der Symmetrieeigenschaft
Achsensymmetrie (y-Achse), wenn f(-x)=f(x).
Punktsymmetrie (Ursprung), wenn f(-x)=-f(x).
° Bei ganzrationalen Funktionen:
- nur gerade Exponenten ⇒ Achsensymmetrie
- nur ungerade Exponenten ⇒ Punktsymmetrie
- gerade und ungerade Exponenten ⇒ keine Symmetrie
♦ Bei gebrochenrationalen Funktionen:
- nur gerade oder ungerade Exponenten im Zähler und Nenner ⇒ Achsensymmetrie
- im Zähler nur gerade und im Nenner nur ungerade (oder umgekehrt) Exponenten ⇒ Punktsymmetrie
3. Definitionslücken
♦ Nur bei gebrochenrationalen Funktionen kann es Definitionslücken geben.
Ist f(x) an der Stelle x0 nicht definiert und gilt
dann hat diese Funktion an der Stelle x0 eine hebbare Definitionslücke.
Streben die Funktionswerte f(x) in der Umgebung von x0 gegen -∞ bzw. +∞, dann wird x0 als Pol bezeichnet.
Zur Bestimmung des Grenzwertes können die Regel von l'Hospital oder die Faktorzerlegung angewandt werden.
4. Ermittlung der Nullstellen
° Ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen höchstens n Nullstellen.
Lösungsverfahren:
- Nullsetzung der Funktion f(x) (also: f(x) = 0)
- Herausfinden einer Lösung durch Probieren
- Polynomdividion
- wenn der Term die zweite Potenz hat, dann Anwendung des allgemeinen Lösungsverfahrens (= p-q-Formel)
Im Falle höherer Potenzen ist auch an die Erleichterung mittels Substitution zu denken.
° Bei ganzrationalen Funktionen gilt:
ist n ungerade ⇒ mindestens 1 Nullstelle
ist n gerade ⇒ evtl. keine Nullstelle
♦ Bei gebrochenrationalen Funktionen genügt es die Nullstellen im Zähler zu berechnen.
Zur vollständigen Angabe der Nullstellen berechnet man den zugehörigen y-Wert, d.h. man berechnet f(x0).
5. Ermittlung der Extremwerte
Bildung der ersten Ableitung f'(x)
Berechnung der Nullstellen der Ableitungsfunktion f'(x)=0
Prüfung, ob Tief- oder Hochpunkte voliegen:
notwendige Bedingung (=Bedingung 1. Ordnung)
f'(x0)=0
hinreichende Bedingung (=Bedingung 2. Ordnung)
Bildung der zweiten Ableitung f''(x)
Einsetzen der Nullstellenwerte (=Extremstellen) der ersten Ableitungsfunktion in die zweite Ableitungsfunktion:
f''(x0) < 0 ⇒ Hochpunkt (= Maximum)
f''(x0) > 0 ⇒ Tiefpunkt (= Minimum)
f''(x0) = 0, dann siehe unten 6. Wendepunkte
Zur vollständigen Angabe der Nullstellen berechnet man den zugehörigen y-Wert, d.h. man berechnet f(x0).
6. Bestimmung der Wendepunkte
notwendige Bedingung (=Bedingung 1. Ordnung)
f''(x0)=0
f''(x0)=0 und f'''(x0) ≠ 0
Zur vollständigen Angabe der Wendepunkte berechnet man die zugehörigen y-Werte, d.h. man setzt die gefundenen x-Werte in f(x) ein.
MATHEMATIK: ANLEITUNGEN - KURVENDISKUSSION
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